domingo, 9 de enero de 2011

Algunos problemas más


 "Una columna de soldados marcha a una velocidad de 5 Km/hora. Un enlace a caballo va desde la cabeza de la columna hasta el final de la misma y regresa inmediatamente, empleando un tiempo total de 10 minutos. Suponiendo que la velocidad del enlace es de 10 Km/hora, hallar la longitud de la columna". 

Solución:
Cuando el enlace camina en contra de la columna habrá recorrido la longitud de la misma menos lo que ésta haya avanzado, y cuando camina con la columna, rebasándola, habrá recorrido la longitud de la misma más lo que ésta, en ese mismo intervalo de tiempo, haya avanzado. Total, si 
v1 es la velocidad del enlace y t el tiempo que tarda en alcanzar la retaguardia, v2 la velocidad de la columna, t' = 10 minutos - t, el tiempo del viaje de regreso, y x la longitud de la columna tendremos:
x=v1*t + v2*t

x= v1*t' - v2*t'
por lo tanto,
v1*t + v2*t = v1*t' - v2*t' 
es decir,
 10*t + 5*t = 10*(1/6 - t) - 5*(1/6 - t)

Resolviendo para 
(1/24 horas) y sustituyendo en cualquiera de los dos miembros, puesto que ambos expresan la longitud de la columna, esta resulta ser de 5/8 de kilómetro. Lo de 1/6 es la manera de convertir 10 minutos en horas para que case con las velocidades expresadas en Kms/hora.

 "Se dispone de 4 litros de una solución anticongelante de agua y glicerina al 10%. Hallar el número de litros de solución que se deben reemplazar por igual cantidad de glicerina para que la solución resultante sea del 25%. Los tantos por ciento son en volumen".

Solución:
¿Qué cantidad de glicerina tenemos en la solución final?: La que había, menos la sustraída, más la añadida; es decir: (0,10)(4) - (0,10)*x + x = (0,25)(4).

"Un mineral de oro y cuarzo tiene una masa de 100 gramos. La densidad del oro es de 19,3, la del cuarzo 2,6 y la del mineral 6,4 (gramos por centímetro cúbico). Hallar la masa de oro que contiene el mineral". 

Solución:
Sabiendo que la densidad se define como masa /volumen, es decir, d=m/V, => V=m/d. El volumen de la muestra es igual a la suma de los volúmenes del oro y del cuarzo (suponiendo que no haya más elementos). Como la densidad se define como el cociente de la masa por el volumen (d=m/V), entonces V=m/d. Planteamos la ecuación:
x/do + (m-x)/dc = m/dm

donde x es la cantidad de oro, do la densidad del oro, dc la del cuarzo, dm la de la muestra y m la masa de la muestra.
Como tenemos datos: 
x/19.3 + (100 - x)/2.6 = 100/6.4

Ver los datos hace unos días. Se resuelve y da 68.5 gramos de oro,