miércoles, 24 de abril de 2013

El problema de Pothenot


Curioseando por los libros de matemáticas me encontré con el llamado problema de Pothenot - Snellius, o problema de los cuatro puntos. Lo podemos ver por Internet. En resumidas cuentas se trata de determinar la posición de un punto P respecto de otros de posición conocida A, B, C, mediante los ángulos de observación alfa y beta. No me voy a meter ahora en la resolución trigonométrica, porque el sitio donde lo encontré por primera vez solo trataba de la resolución gráfica sobre una carta terrestre o marina. Al principio me costó entenderlo. Luego con el dibujo que pone ahí arriba y la explicación correspondiente lo entendí completamente e incluso me pareció sumamente sencillo.
Imaginemos la situación. Estoy, por ejemplo, en un barco en el mar en un punto P de posición desconocida. Y tengo frente a mí tres puntos bien determinados en la costa y que figuran en un mapa que tengo sobre la mesa. Me basta con tomar los ángulos alfa y beta, es decir, medir la abertura de los puntos A y B, así como la de B y C, para sobre el mapa encontrar los centros de las circunferencias O1 y O2. Trazando las circunferencias puedo determinar por sus intersección la distancia PB, y por lo tanto también las otras PA y PC. La distancia se mide con la escala del mapa, claro.
A continuación pongo la explicación que figura en el libro de Constantini en delicioso - y claro - italiano. Todo el truco consiste en abrir sobre A el ángulo alfa en sentido antihorario y luego girar en sentido horario un ángulo recto. La intersección con la mediatriz del segmento AB nos dará el centro O1. Y lo mismo para el ángulo beta respecto de la distancia BC. Para ver mejor el dibujo ampliar con el ratón.
L’angolo α è l’angolo sotto cui dal punto P si vede il segmento AB. Il luogo geometrico di P è dunque una circonferenza di cui AB è una corda. Si ricordi che, data una circonferenza, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su una data corda hanno ampiezza metà dell’angolo al centro che insiste sulla stessa corda.
Ruotando in senso orario il segmento AB intorno al punto A di un angolo pari a (π/2−α) e intersecandolo con l’asse del segmento AB si determina il centro O1 della circonferenza luogo cercata (praticamente, per non fare calcoli, si può ruotare in senso antiorario il segmento AB di un angolo α e quindi ruotarlo in senso orario di un angolo retto). Tutti i punti della circonferenza c1 sono, con riguardo al valore di α, possibili soluzioni per P.
La stessa costruzione può essere sviluppata sul secondo segmento BC: il centro della circonferenza è l’intersezione del segmento CB ruotato in senso antiorario di un angolo (π/2−β) con l’asse del segmento BC. Tutti i punti della circonferenza c2 sono, con riguardo al valore di β, possibili soluzioni per P.
Pier Francesco Costantini – ITG “Canova” –
rev. 1.1 - 19/11/2010
Vicenza 10.

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