La moqueta del señor Tachuela

Este pequeño problema está tomado del libro de Martin Gardner "Ajá", una verdadera mina para cuestiones de matemáticas, lógica e ingenio en general.

La sociedad Tachuela S.A recibió el encargo de enmoquetar de pared a pared un corredor anular en la nueva terminal del aeropuerto. Cuando el señor Tachuela recibió los planos montó en cólera. Tan sólo daban la longitud de una cuerda tangente a la pared interior.
¿Cómo voy a darles un presupuesto, si no conozco la superficie de pasillo a enmoquetar?, exclamó el señor Tachuela. Sin embargo, en cuanto se presentó en la oficina del señor Dosaros, éste no tardó en convencerle de que no necesitaba más datos en absoluto. 

¿Cuál es la formulita, si existe, que nos dé el área de una corona circular sólo en función de la longitud de la cuerda que corte la corona de lado a lado tocando en un punto del círculo interior?
Como es para mí difícil - por el momento - poner dibujos aquí, cada uno debe imáginarselo a su manera trazando de paso los radios de las dos circunferencias concéntricas. En cuanto se dé cuenta de que estos forman con la cuerda un triángulo puede deducir inmediatamente la fórmula. Es casi "trivial"; sin embargo, Gardner llama a esta fórmula "un teorema sorprendente". Es curioso que no dependa para nada de los radios de las dos circunferencias implicadas. El teorema establece que "el área de una corona circular cualquiera es igual al área del círculo cuyo diámetro sea el máximo segmento que pueda trazarse en el interior del anillo".
Es fácil extender este procedimiento para calcular el volumen - y de paso el peso, por ejemplo - de un cilindro de paredes gruesas. Solo se necesita la cuerda de las bases. Luego el señor Gardner habla de una esfera perforada por un agujero... pero eso vamos a dejarlo para otro día porque no lo tengo aún maduro.