Uno de los conceptos fundamentales de la trigonometría es el de tangente. Este concepto es muy antiguo; en realidad, es quizás el primero. Los griegos ya habían demostrado que en un triángulo rectángulo cualquiera, prescindiendo de su tamaño, la relación entre los catetos era siempre la misma para un determinado ángulo agudo. Es un corolario de la semejanza de triángulos. Así, para un ángulo de 45º la relación vale 1, para 30º, raíz de 3 dividida por 3, para 60º, raíz de 3, etc. Esto tenía una aplicación inmediata, que era el poder medir objetos de gran tamaño o inaccesibles sustituyendo la medición directa por el ángulo de "elevación" o de "depresión". Así podemos medir la altura de una torre sin subir a ella, o de una montaña, o la distancia de un barco de la costa, la anchura de un río, etc. Parece ser que ya ellos elaboraron unas rudimentarias tablas para determinados valores que hacían corresponder el número que resulta de dividir el cateto opuesto por el cateto contiguo, concepto de tangente trigonométrica, con el ángulo agudo correspondiente. Este concepto tiene numerosas aplicaciones prácticas. No necesitamos más que una regla y un aparatito llamado teodolito o un sextante primitivo para medir ángulos. El concepto algebraico que hemos de retener firmemente es:
tan(angulo)=altura/distancia.
Esto no se demuestra, es una definición, un concepto. De aquí que
altura=distancia*tan(angulo), que es la ecuación que vamos a utilizar constantemente. Si en vez de ángulos de elevación tratamos con ángulos de depresión, entonces la altura es conocida y lo que se trata de medir es la distancia, luego:
distancia=altura/tan(angulo), es decir,
distancia=altura*cotan(angulo), puesto que la cotangente se define como la inversa de la tangente. Si quisiéramos medir la anchura de un río, por ejemplo, el problema es el mismo, la "altura" sería la anchura del río, y la "distancia" lo que tendríamos que caminar por la orilla del río para volver a enfocar un punto en la otra orilla.
Vamos a resolver un problema elemental, pero típico de esta clase:
Problema 1. Si la altura del sol sobre el horizonte (ángulo de elevación) es en cierto momento de 42º, calcular la altura de un árbol cuya sombra tiene 25 pies de largo. (Rich, Geometría plana con coordenadas).
Aquí de paso podemos divertirnos un poco pasando pies a metros. Estos pasos se llaman conversiones y constituyen casi la mitad de todos los problemas de física, química y matemáticas. Hay quienes tienen problemas con esto, pero no tiene por qué ser así. El método mecánico que nunca falla consiste en
multiplicar siempre el dato por una fracción cuyo numerador sea la unidad a la que queremos pasar y cuyo denominador sea la unidad que queremos convertir. Esta fracción vale 1 porque los dos numeritos expresan la equivalencia de las distintas unidades, por ejemplo,
0.30 mts/1 pie, si queremos pasar de pies a metros, o
1 pie/0.30 mts si queremos pasar de metros a pies. Este sistema vale para todo. Por ejemplo, si quiero pasar de grados a radianes:
3.1416 rad/180º o al revés, de radianes a grados:
180º/3.1416 rad. En el caso que nos ocupa escribiríamos:
25 pies*0.30 mts/1 pie. Pies se cancelan (podemos tacharlos), y nos quedan metros. En este caso: 7.5 mts. Así que ecuación:
altura=distancia*tan(angulo),
altura=7.5 mts*tan(42)=6.7530 mts.
Otro problema del mismo estilo:
Problema 2. Enrique mira la cima de un edificio bajo un ángulo de elevación de 21º. El piso es horizontal. El teodolito con el que mide el ángulo está a 5 pies por encima del piso y a 200 pies (horizontalmente) del edificio. Hallar al altura de éste. (Rich, ibidem). Aquí lo mismo. Primero convertimos pies -> mts:
5 pies*0.30 mts/1 pie= 1.5 mts; 200 pies *0.30 mts/1 pie=60 mts. Ahora aplicamos ecuación: altura=distancia*tan(angulo);
altura=60*tan(21)=23 mts. Si añadimos la altura del teodolito:
24.5 mts. Es conveniente para más seguridad dibujar siempre un esquemita para no equivocarse de catetos. La definición firme es: tangente=cateto opuesto/cateto contiguo.
El que sea aficionado al C puede divertirse un poco con este pequeño programa. Para compilarlo en Linux acceder a la consola (línea de comandos) y teclear:
gcc -o anguloelev anguloelev.c -lm. Para ejecutarlo
./anguloelev.
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Programa anguloelev.c
/* Al compilar es necesario poner la directiva -lm */
/* by M.H., Febrero 2010 */
#include
"stdio.h"
#include
#define PI 3.1416
double distancia, ang_elevacion,altura,minutos,segundos;
double main(){
puts("Se quiere calcular la altura de un edificio a base de medir desde un cierto punto al nivel del");
puts("suelo el ángulo de elevación del extremo más alto del edificio y la distancia desde el observador a la base del mismo.");
printf("Dame el ángulo de elevación (grados sexagesimales):");scanf("%lf",&ang_elevacion);
printf("Dame los minutos:");scanf("%lf",&minutos);
printf("Dame los segundos:");scanf("%lf",&segundos);
printf("Dame la distancia a la base en metros:");scanf("%lf",&distancia);
segundos=segundos/60; /*Conversión de segundos a fracción de minuto*/
minutos=minutos+segundos; /*Agregación a minutos*/
minutos=minutos/60; /*Conversión de minutos a fracción de grado*/
ang_elevacion=ang_elevacion+minutos; /*Agregación a grados*/
ang_elevacion=ang_elevacion*PI/180; /*Conversión de grados a radianes*/
altura=distancia*tan(ang_elevacion); /*Cálculo de la altura*/
printf("La altura del edificio es de %.4lf metros\n",altura);
return 0;
}
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