Un programilla en C

Aquí ponemos un programilla en C, que hemos hecho por divertirnos, por si a alguno le interesa duplicar cualquier altar cúbico, tenga las dimensiones que tenga. :-)

Programa mat1.c
#include < stdio.h >
#include < math.h >
/*Ojo, al compilar con GNU-Linux añadir -lm; es decir gcc mat1.c -o mat1 -lm; mat1 es el nombre del ejecutable. Se ejecuta en la consola con ./mat1 */
double main()
{
double a,h,rc,na;
/*Cálculo del cubo doble; "na", nueva arista; "h", ln de la raiz cúbica de 2, "rc" raiz cúbica de 2, exponencial de h.*/
printf("Deme la longitud de la arista 'a' del cubo: ");
scanf("%lf",&a);
h=(log(2))/3; //También podríamos poner rc=pow(2.0,0.3333)
rc=exp(h);
/*"na", nueva arista, que resulta de multiplicar la primitiva por raíz cúbica de 2 */
na=rc*a;
printf("Nueva arista = %lf\n",na);
printf("Comprobación, el volumen del cubo primitivo valía %lf y el del doble vale %lf\n",pow(a,3), pow(na,3));
return 0;
}
Comentarios: No podemos copiar y pegar el programa sin más; hay algunos caracteres sospechosos que puede no reconocerlos el compilador, como mayor, menor que, <, >, &, que es el ampersand... Quizás necesitemos algunos retoques. A buen entendedor...

La duplicación del volumen del altar II

Nos habíamos quedado con el grave problema de duplicar el volumen del altar, que era un cubo perfecto. Parece ser que uno de los canteros - los canteros eran los ingenieros de entonces - dió enseguida con la solución. "Para alargar una longitud - dijo - yo la multiplico por un número conveniente, mayor que 1 si la quiero alargar y menor que 1 si la quiero acortar". Claro, para ellos un número algo mayor que uno era siempre una fracción porque no manejaban los números decimales como nosotros. De esta manera fueron capaces de plantear esta ecuación, a su manera (no empleaban nuestra misma notación):

(ax)³ = 2a³

a³x³ = 2a³

x³ = 2

x = 2¹/³

Es decir, el número por el que tenían que multiplicar la arista era la raíz cúbica de 2. Naturalmente, no sabían hallar esa raiz. Solo por aproximaciones  sucesivas encontraron el número que podemos obtener ahora con un solo golpe de nuestras calculadoras: 1,25992105... que, por cierto, es un número irracional, algo que a ellos los traía completamente descolocados.
Supongamos, por ejemplo, que el altar fuese un cubo de 1,25 metros de arista. La nueva medida tendría que ser 1,5749 mts. Efectivamente, el altar tenía un volumen de 1,9531 mc. y ahora tendría 3,9062 mc.
Para aquellas mentes se planteó un grave problema: ¿Cómo es posible que existan números que no puedan ser expresados de ninguna manera por un par de números "normales"? El problema ya había aparecido con la diagonal del cuadrado y con la longitud de la circunferencia (o la relación de la longitud con el diámetro). De todos modos aquellos sacerdotes con la ayuda del cantero pudieron tallar un altar que se ajustaba bastante bien a las medidas exigidas por ¿Apolo?, mientras se quedaban muy pensativos sobre lo que el dios les había dado a entender. Habían aparecido magnitudes "incomensurables" entre sí. No era posible medir exactamente, por ejemplo, la diagonal del cuadrado tomando como unidad de medida el lado y partes alícuotas de este, aunque fueran infinitamente pequeñas. Todo un misterio que se cernió sobre las sabias cabezas de los matemáticos durante muchos años. Un misterio que, como suele ocurrir, desencadenó amplios desarrollos más adelante.

La duplicación del volumen del altar

Vamos a proponer un problema antiguo. En una ocasión un sabio propuso a los sacerdotes de no sé que templo griego el siguiente problema:

El altar del templo es un bloque cúbico, ¿cuánto se tendrían que alargar los lados de ese cubo para que su volumen resultase exactamente el doble?


Los sacerdotes hicieron un altar cúbico con sus lados el doble de largos que el antiguo. El sabio se rió mucho y les dijo que habían decepcionado a su dios, porque el volumen del altar resultaba ahora ocho veces mayor que el antiguo y además era tan grande que ya no servía para nada.
Los sacerdotes plantearon entonces una ecuación que resultaba ser así:

(a+x)³ = 2a³

Pero cuando se pusieron a resolver esa ecuación se encontraron con dificultades insalvables. Efectivamente:

a³ + 3a² x + 3ax² + x³ = 2a³

x³ + 3ax² + 3a²x - a³ = 0

Entonces pensaron dar a a un valor determinado, puesto que representa la longitud conocida de la arista del primitivo cubo, por ejemplo, 1. Pero aun así, la ecuación resultaba insoluble para ellos:

x³ + 3x² + 3x -1 = 0

¿Cómo se puede plantear la ecuación para que resulte sumamente fácil su solución?

La solución mañana.