miércoles, 17 de abril de 2013

Sobre teoremas de la Geometría


Es una cosa divertida demostrar teoremas geométricos. Supongamos, por ejemplo, este teorema: "El valor de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco interceptado por sus lados" (medido en grados o en radianes).
Esta proposición no es evidente de entrada. Si hacemos un dibujo y trazamos alguna recta auxiliar quizás lo empecemos a ver. Aun así, caben tres casos: que uno de los lados pase por el centro de la circunferencia (el caso por el que deberíamos empezar), o que este centro sea interior o exterior al ángulo. A su vez este teorema se apoya en otros, que hemos de tener presentes, como el que un ángulo externo de un triángulo tiene por medida la suma de los ángulos internos no adyacentes del triángulo, y que los ángulos centrales se miden por la amplitud del arco que interceptan sus lados. Este último enunciado más bien es una definición. En cuanto a la primera, la de la medida de un ángulo externo, ésa sí me parece evidente.
Muchos de estos teoremas son útiles y, sin embargo, poco conocidos. Por ejemplo, que "el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de una circunferencia, tiene por medida la semisuma de los arcos que abarcan sus lados". Este teorema depende del anterior.
Podríamos poner otros muchos, por supuesto. Muchos se aclaran inmediatamente en cuanto trazamos alguna recta auxiliar. Por ejemplo, es de todos conocido que "el área de un trapecio cualquiera es igual a la mitad del producto de su altura por la semisuma de las bases". Pero intentemos demostrarlo. No es difícil.
Algunos consideran a la vieja geometría como una especie de juego de niños por aquello de que la aprendieron - si la aprendieron - de niños. Pero de eso nada. Nada desarrolla tanto la capacidad mental y lógica como la geometría cuando se estudia como debe ser estudiada, a base de las demostraciones.
Y, para terminar, otro par de teoremas, tan fáciles que casi me da vergüenza proponerlos: Demostrar que "el área del cuadrado inscrito en una circunferencia tiene siempre por medida la mitad de la del circunscrito a esa misma circunferencia", o que "el área del círculo inscrito en un cuadrado es la mitad del área del círculo circunscrito a ese mismo cuadrado". O, finalmente, que la relación de las áreas del círculo y del cuadrado circunscrito es igual a pi/4.
Por cierto, un tema apasionante es el de las construcciones. Intentemos transformar, por ejemplo, un rectángulo en un cuadrado con la misma área, utilizando solo regla y compás. Si lo conseguimos quizás nos sirva para demostrar - una demostración más - de una forma puramente geométrica, como se hizo en la antigüedad, el teorema de Pitágoras, que ha rendido a las matemáticas más sevicios que ningún otro.
Pido perdón por el dibujito. Es que me estoy estrenando con el LibreCad. Con el tiempo nos iremos perfeccionando. Por lo menos ahí damos una idea de lo que he comentado.

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