miércoles, 24 de abril de 2013

El problema de Pothenot


Curioseando por los libros de matemáticas me encontré con el llamado problema de Pothenot - Snellius, o problema de los cuatro puntos. Lo podemos ver por Internet. En resumidas cuentas se trata de determinar la posición de un punto P respecto de otros de posición conocida A, B, C, mediante los ángulos de observación alfa y beta. No me voy a meter ahora en la resolución trigonométrica, porque el sitio donde lo encontré por primera vez solo trataba de la resolución gráfica sobre una carta terrestre o marina. Al principio me costó entenderlo. Luego con el dibujo que pone ahí arriba y la explicación correspondiente lo entendí completamente e incluso me pareció sumamente sencillo.
Imaginemos la situación. Estoy, por ejemplo, en un barco en el mar en un punto P de posición desconocida. Y tengo frente a mí tres puntos bien determinados en la costa y que figuran en un mapa que tengo sobre la mesa. Me basta con tomar los ángulos alfa y beta, es decir, medir la abertura de los puntos A y B, así como la de B y C, para sobre el mapa encontrar los centros de las circunferencias O1 y O2. Trazando las circunferencias puedo determinar por sus intersección la distancia PB, y por lo tanto también las otras PA y PC. La distancia se mide con la escala del mapa, claro.
A continuación pongo la explicación que figura en el libro de Constantini en delicioso - y claro - italiano. Todo el truco consiste en abrir sobre A el ángulo alfa en sentido antihorario y luego girar en sentido horario un ángulo recto. La intersección con la mediatriz del segmento AB nos dará el centro O1. Y lo mismo para el ángulo beta respecto de la distancia BC. Para ver mejor el dibujo ampliar con el ratón.
L’angolo α è l’angolo sotto cui dal punto P si vede il segmento AB. Il luogo geometrico di P è dunque una circonferenza di cui AB è una corda. Si ricordi che, data una circonferenza, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su una data corda hanno ampiezza metà dell’angolo al centro che insiste sulla stessa corda.
Ruotando in senso orario il segmento AB intorno al punto A di un angolo pari a (π/2−α) e intersecandolo con l’asse del segmento AB si determina il centro O1 della circonferenza luogo cercata (praticamente, per non fare calcoli, si può ruotare in senso antiorario il segmento AB di un angolo α e quindi ruotarlo in senso orario di un angolo retto). Tutti i punti della circonferenza c1 sono, con riguardo al valore di α, possibili soluzioni per P.
La stessa costruzione può essere sviluppata sul secondo segmento BC: il centro della circonferenza è l’intersezione del segmento CB ruotato in senso antiorario di un angolo (π/2−β) con l’asse del segmento BC. Tutti i punti della circonferenza c2 sono, con riguardo al valore di β, possibili soluzioni per P.
Pier Francesco Costantini – ITG “Canova” –
rev. 1.1 - 19/11/2010
Vicenza 10.

sábado, 20 de abril de 2013

Tangente interior a dos circunferencias


Vamos perfecionándonos en el LibreCAD. Ese dibujo se refiere a la relación entre los radios de dos circunferencias O y O', el ángulo central ß y la distancia entre sus centros OO', así como entre esos mismos elementos y la longitud de la tangente AB interior a las dos circunferencias. Las medidas o cotas que pone ahí no son muy exactas, puesto que fueron tomadas a ojo, pero sí se aproximan bastante a los resultados exigidos por las fórmulas. En fin, que esto del CAD es estimulante. Sin meternos por ahora en proyectos complicados sí sirve muy bien para dibujos de tipo geométrico.

miércoles, 17 de abril de 2013

Sobre teoremas de la Geometría


Es una cosa divertida demostrar teoremas geométricos. Supongamos, por ejemplo, este teorema: "El valor de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco interceptado por sus lados" (medido en grados o en radianes).
Esta proposición no es evidente de entrada. Si hacemos un dibujo y trazamos alguna recta auxiliar quizás lo empecemos a ver. Aun así, caben tres casos: que uno de los lados pase por el centro de la circunferencia (el caso por el que deberíamos empezar), o que este centro sea interior o exterior al ángulo. A su vez este teorema se apoya en otros, que hemos de tener presentes, como el que un ángulo externo de un triángulo tiene por medida la suma de los ángulos internos no adyacentes del triángulo, y que los ángulos centrales se miden por la amplitud del arco que interceptan sus lados. Este último enunciado más bien es una definición. En cuanto a la primera, la de la medida de un ángulo externo, ésa sí me parece evidente.
Muchos de estos teoremas son útiles y, sin embargo, poco conocidos. Por ejemplo, que "el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de una circunferencia, tiene por medida la semisuma de los arcos que abarcan sus lados". Este teorema depende del anterior.
Podríamos poner otros muchos, por supuesto. Muchos se aclaran inmediatamente en cuanto trazamos alguna recta auxiliar. Por ejemplo, es de todos conocido que "el área de un trapecio cualquiera es igual a la mitad del producto de su altura por la semisuma de las bases". Pero intentemos demostrarlo. No es difícil.
Algunos consideran a la vieja geometría como una especie de juego de niños por aquello de que la aprendieron - si la aprendieron - de niños. Pero de eso nada. Nada desarrolla tanto la capacidad mental y lógica como la geometría cuando se estudia como debe ser estudiada, a base de las demostraciones.
Y, para terminar, otro par de teoremas, tan fáciles que casi me da vergüenza proponerlos: Demostrar que "el área del cuadrado inscrito en una circunferencia tiene siempre por medida la mitad de la del circunscrito a esa misma circunferencia", o que "el área del círculo inscrito en un cuadrado es la mitad del área del círculo circunscrito a ese mismo cuadrado". O, finalmente, que la relación de las áreas del círculo y del cuadrado circunscrito es igual a pi/4.
Por cierto, un tema apasionante es el de las construcciones. Intentemos transformar, por ejemplo, un rectángulo en un cuadrado con la misma área, utilizando solo regla y compás. Si lo conseguimos quizás nos sirva para demostrar - una demostración más - de una forma puramente geométrica, como se hizo en la antigüedad, el teorema de Pitágoras, que ha rendido a las matemáticas más sevicios que ningún otro.
Pido perdón por el dibujito. Es que me estoy estrenando con el LibreCad. Con el tiempo nos iremos perfeccionando. Por lo menos ahí damos una idea de lo que he comentado.

viernes, 12 de abril de 2013

De hélices y espirales


Una de las figuras geométricas más interesante es la hélice. No pensemos en la "hélice" de un barco o de un avión, sino en un cuerpo helicoidal, como puede ser un muelle de colchón, por ejemplo. Helicoidales son los tornillos, sacacorchos, escaleras de caracol,... Los hilos que forman una cuerda están arrollados unos en otros de forma helicoidal, los tirabuzones de las niñas, coletas, etc., tienen también estructura helicoidal. Las antiguas torres o zigurats tenían también rampas helicoidales para subir a su cima. En la naturaleza tenemos ejemplos de espirales en los cuernos de muchos animales, en conchas de moluscos, en el largo colmillo del nerval, en la cóclea del oído humano y en el cordón umbilical de los mamíferos. El ADN está formado por dos hebras complementarias que se arrollan en espiral. En el reino vegetal en tallos, zarcillos, semillas,...y en meteorología en los remolinos de los ciclones. Como vemos los ejemplos son abundantes. Hay dos tipos de espirales antagónicas: una es dextrorsa o dextrógira, por girar a derechas, es decir, por avanzar girando en el sentido de las manecillas del reloj, como los tornillos, y otra sinistrorsa o levógira, por avanzar girando en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Estas dos formas son irreconciliables y opuestas.
Pues bien, a propósito de hélices vamos a plantear un pequeño problema que nos trae nuestro amigo Martin Gardner en "Ajá".
Una torre cilíndrica de 100 metros de altura tiene en su interior un ascensor, y por el exterior, una escalera de caracol que forma un ángulo constante de 60º con la vertical. El diámetro de la torre son 13 metros. Para subir a la terraza de la torre, los señores Pisapoco toman el ascensor. En cambio su hijo Quico prefiere subir corriendo por las escaleras. Al llegar arriba, Quico está sin aliento.
Chaval, dijo el señor Pisapoco, no es un milagro que llegues con la lengua fuera, pues habrás tenido que hacer por lo menos cuatro veces la distancia que hemos subido nosotros.
Estás equivocado, papá, replicó Quico. Solo tuve que hacer el doble.
¿Quién tiene razón?
Una indicación: en realidad tanto la altura como el diámetro de la torre son datos irrelevantes.

jueves, 11 de abril de 2013

Convertir un número decimal a binario


Este es un programa en C++ para convertir un número decimal a binario.
El algoritmo consiste en dividir el número dado decimal por 2 y obtener el cociente y el resto. El cociente se vuelve a dividir por 2 y se obtiene un nuevo resto. El proceso se repite "mientras (while)" el producto del cociente por el divisor sea menor o igual al dividendo; esto es, mientras se cumpla la condición q*2<=dv. En otras palabras, "mientras quepa", que decíamos en la escuela. El número binario se escribe empezando por el último cociente y siguiendo por los restos obtenidos hasta el primero. El programa da hasta el número decimal 2047. Si se quiere alargar basta con modificar N, que está puesto a 10.

#include<iostream>
#define N 10
using namespace std;
int main()
{
int dv;
int q=1,i;
int Q,R[N];
cout<<"Dame el número: ";cin>>dv;
for(i=0;i<N;i++){
while(q*2<=dv)
q++;
Q=q-1;
R[i]=dv-Q*2;
dv=Q;q=1;
}
cout<<Q; for(i=N-1;i>=0;i--) cout<<R[i];
cout<<endl;
return 0;
}




miércoles, 10 de abril de 2013

La moqueta del señor Tachuela



Este pequeño problema está tomado del libro de Martin Gardner "Ajá", una verdadera mina para cuestiones de matemáticas, lógica e ingenio en general.
La sociedad Tachuela S.A recibió el encargo de enmoquetar de pared a pared un corredor anular en la nueva terminal del aeropuerto. Cuando el señor Tachuela recibió los planos montó en cólera. Tan sólo daban la longitud de una cuerda tangente a la pared interior.
¿Cómo voy a darles un presupuesto, si no conozco la superficie de pasillo a enmoquetar?, exclamó el señor Tachuela. Sin embargo, en cuanto se presentó en la oficina del señor Dosaros, éste no tardó en convencerle de que no necesitaba más datos en absoluto. 
¿Cuál es la formulita, si existe, que nos dé el área de una corona circular sólo en función de la longitud de la cuerda que corte la corona de lado a lado tocando en un punto del círculo interior?
Como es para mí difícil - por el momento - poner dibujos aquí, cada uno debe imáginarselo a su manera trazando de paso los radios de las dos circunferencias concéntricas. En cuanto se dé cuenta de que estos forman con la cuerda un triángulo puede deducir inmediatamente la fórmula. Es casi "trivial"; sin embargo, Gardner llama a esta fórmula "un teorema sorprendente". Es curioso que no dependa para nada de los radios de las dos circunferencias implicadas. El teorema establece que "el área de una corona circular cualquiera es igual al área del círculo cuyo diámetro sea el máximo segmento que pueda trazarse en el interior del anillo".
Es fácil extender este procedimiento para calcular el volumen - y de paso el peso, por ejemplo - de un cilindro de paredes gruesas. Solo se necesita la cuerda de las bases. Luego el señor Gardner habla de una esfera perforada por un agujero... pero eso vamos a dejarlo para otro día porque no lo tengo aún maduro.

lunes, 8 de abril de 2013

¿Quién es el dueño del pececito?


Vamos a poner aquí un acertijo matemático que, según dicen, es del mismo Einstein. Anda por internet, lo ví y me gustó. Para resolverlo hay que armarse de paciencia y proceder con método.

Tenemos 5 casas de cinco colores diferentes y en cada una de ellas vive una persona de una nacionalidad diferente.Cada uno de los dueños bebe una bebida diferente, fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota diferente.
Tenemos las siguientes claves:
- El británico vive en la casa roja.
- El sueco tiene un perro.
- El danés toma té.
- La casa verde esta a la izquierda de la blanca.
- El dueño de la casa verde toma café.
- La persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro.
- El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
- El que vive en la casa del centro toma leche.
- El noruego vive en la primera casa.
- La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato.
- La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill.
- El que fuma Bluemasters bebe cerveza.
- El alemán fuma prince.
- El noruego vive junto a la casa azul.
- El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua.
Y por ultimo la pregunta:
¿Quién es el dueño del pececito?

Esa torre semidestruida se conoce con el nombre de la torre de Peñarudes, está cerca de Oviedo y data de la Edad Media. Era una torre de observación y vigilancia para controlar el "camín de los moros" y poder prepararse a tiempo. Se ve desde Oviedo y supongo que por medio de señales luminosas de algún tipo serviría para alertar a tiempo a la defensa.

sábado, 6 de abril de 2013

Una fiesta familiar


Vamos a poner aquí algún problema que nos sirva para discurrir un poco. Lo trae Ian Stewart en uno de sus libros.
Fue una fiesta maravillosa - dijo Lucilla a su amiga Harriet.
¿Quiénes estaban?
A ver. Había un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, cuatro hijos, de los cuales dos eran varones y dos hembras, tres nietos, un hermano, dos hermanas, un suegro, una suegra y una nuera.
¡Vaya! Ventitrés personas.
No, menos que eso. Mucho menos.
¿Cuál es el número mínimo, el tamaño más pequeño de esa población, compatible con la descripción de Lucilla?
Doy el resultado: 7. Que cada uno se haga el arbolito para ver cómo es la cosa. Y de paso que adivine dónde está tomada la foto de arriba. Esos pinos son bastante reveladores. Adelanto que el lugar es famoso en el mundo entero.