lunes, 14 de marzo de 2011

La duplicación del volumen del altar II


Nos habíamos quedado con el grave problema de duplicar el volumen del altar, que era un cubo perfecto. Parece ser que uno de los canteros - los canteros eran los ingenieros de entonces - dió enseguida con la solución. "Para alargar una longitud - dijo - yo la multiplico por un número conveniente, mayor que 1 si la quiero alargar y menor que 1 si la quiero acortar". Claro, para ellos un número algo mayor que uno era siempre una fracción porque no manejaban los números decimales como nosotros. De esta manera fueron capaces de plantear esta ecuación, a su manera (no empleaban nuestra misma notación):

(ax)³ = 2a³

a³x³ = 2a³

x³ = 2

x = 2¹/³

Es decir, el número por el que tenían que multiplicar la arista era la raíz cúbica de 2. Naturalmente, no sabían hallar esa raiz. Solo por aproximaciones  sucesivas encontraron el número que podemos obtener ahora con un solo golpe de nuestras calculadoras: 1,25992105... que, por cierto, es un número irracional, algo que a ellos los traía completamente descolocados.
Supongamos, por ejemplo, que el altar fuese un cubo de 1,25 metros de arista. La nueva medida tendría que ser 1,5749 mts. Efectivamente, el altar tenía un volumen de 1,9531 mc. y ahora tendría 3,9062 mc.
Para aquellas mentes se planteó un grave problema: ¿Cómo es posible que existan números que no puedan ser expresados de ninguna manera por un par de números "normales"? El problema ya había aparecido con la diagonal del cuadrado y con la longitud de la circunferencia (o la relación de la longitud con el diámetro). De todos modos aquellos sacerdotes con la ayuda del cantero pudieron tallar un altar que se ajustaba bastante bien a las medidas exigidas por ¿Apolo?, mientras se quedaban muy pensativos sobre lo que el dios les había dado a entender. Habían aparecido magnitudes "incomensurables" entre sí. No era posible medir exactamente, por ejemplo, la diagonal del cuadrado tomando como unidad de medida el lado y partes alícuotas de este, aunque fueran infinitamente pequeñas. Todo un misterio que se cernió sobre las sabias cabezas de los matemáticos durante muchos años. Un misterio que, como suele ocurrir, desencadenó amplios desarrollos más adelante.

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