lunes, 6 de diciembre de 2010

El álgebra y las mezclas

Seguimos con esto de los planteamientos de ecuaciones. Ahora veamos uno de mezclas. Estos problemas siempre han sido un poco “dificilillos”. Pero son fáciles si logramos pescar alguna idea firme.
Hallar la masa de agua que se debe evaporar de 40 kg de una solución salina al 20% para que resulte una solución al 50%. Los porcentajes son en masa.
Los problemas, mientras no se diga lo contrario, están tomados del libro de Murray R. Spiegel, Álgebra Superior (col. Schaum).
Lo primero que advertiremos es que estamos hablando de kilogramos, no de litros. Lo segundo, es una observación “de sentido común”: la sal no se evapora. Por lo tanto, la sal que había antes de evaporarse el agua es la misma que habrá después. ¿Cuánta había antes?. Pues, 0,20(40 kg.), es decir, 8 kg de sal. ¿Cuánta habrá después? Pues, 0,50(40 kg – x). Después de evaporarse x kg de agua – no sabemos cuántos – la solución pesará 40 kg – x, evidentemente, y la sal representará el 50% de esta mezcla. Por lo tanto:

Sal que había antes (20% de la mezcla) = sal que habrá después (50% de la mezcla)

8 = 0,50(40 – x)

8 = 20 – 0,50x

0,50x = 20 – 8 = 12

x = 24 kg

Es decir, se habrán evaporado 24 kilogramos de agua. Ahora tendremos 8 kg de agua y 8 kg de sal. En total 16 kg de solución, de mezcla. Es decir, una solución al 50%. Cualquiera que esté un poco entrenado en resolver problemas aritméticos hubiera encontrado la solución inmediatamente, sin escribir una línea, por un razonamiento elemental: Si tenemos 8 kg de sal y la solución ha de ser al 50% tendremos al final 8 kg de agua, es decir, 16 kg de solución, y se habrán marchado el resto – 24 kg -. Esto es cierto. Por eso los que resuelven problemas aritméticos tienen esa fama de “listos”. Son muy agudos. Pero el álgebra es un camino más metódico y más seguro. También conviene distinguir en este problema tres cosas distintas: una es el agua, otra la sal, y otra la mezcla. Hay quienes podrían discurrir así: Si se me han marchado 24 kg de agua, al final tendré 16 kg de agua... y 8 kg de sal, luego 32 kg de solución... ¡No! Al final tendrás 16 kg de mezcla, de los cuales 8 kg son de agua. Efectivamente, 8 kg de agua más 24 kg que se te han marchado son los 32 kg de agua, que había al principio.

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