domingo, 1 de noviembre de 2009

Funciones derivadas y primitivas


¿Cuál es la utilidad de la función derivada? La función derivada nos va marcando en cada punto qué es lo que hace la primitiva: si crece o decrece, si pasa por un máximo o un mínimo, y además en qué medida crece o decrece, y también si existe algún punto de inflexión o una discontinuidad. Estos "servicios" son muy aprovechables, por eso la función derivada es una herramienta preciosa para estudiar la primitiva. Pongamos un ejemplo de lo más sencillo. Tenemos la función f(x)=x², su derivada es f'(x)=2x. Para cada x la derivada nos va diciendo cual es el crecimiento instantáneo de la primitiva. En este caso este crecimiento es exactamente proporcional, a medida que nos alejamos de 0 su crecimiento ó decrecimiento se hace mayor, exactamente el doble, y puede llegar a ser tan grande como se quiera. ¿Tendrá un mínimo o un máximo la función primitiva? Esto lo podemos averiguar inmediatamente haciendo la derivada igual a cero. Allí donde se anula la derivada tendremos crecimiento cero, es decir, pasaremos por un máximo o un mínimo. Efectivamente, 2x=0, =>x=0, luego en x=0 la primitiva presenta un máximo/mínimo o tal vez pasa por un punto de inflexión. Es fácil deducir que se trata de un mínimo porque el crecimiento pasa de negativo (descenso) a positivo (ascenso). O también porque la segunda derivada, f''(x)=2 es positiva. Todo esto lo vemos inmediatamente haciendo las gráficas. El ejemplo es, como hemos dicho, de lo más sencillo, pero esto funciona siempre así, por compleja que sea la función. Imaginemos otra función un poco más difícil: f(x)=x³ + 2x² -1. ¿Dónde tendrá sus máximos y sus mínimos? Derivando f'(x)=3x² + 4x. Si igualamos a cero factorizando: x(3x + 4) = 0, luego x=0, x= -4/3. Estos son los dos puntos críticos, que son las soluciones de la derivada. ¿Qué pasa en x=0 y en x= -4/3? Puede haber máximos, mínimos o puntos de inflexión en la primitiva. Se puede estudiar lo que pasa en un entorno del punto crítico tanto en la derivada como en la primitiva; efectivamente vemos que para valores próximos a cero la función primitiva se mantiene siempre por encima de -1, que es lo que vale en ese punto y la derivada pasa de negativa a positiva, luego la función pasa por un mínimo. Si todavía tuviéramos dudas recurrimos al criterio de la segunda derivada, f''(x)=6x+4, que en x=0 es positiva. Discurriendo de la misma manera demostraríamos que en -4/3 hay un máximo. Si queremos verla representada podemos ir a esta página http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/op_applet_15.htm Pero ojo, hay que decírselo bien, x*x*x + 2*x *x - 1, si no, dice que es ¡absurdo!, que es lo peor que te pueden decir en estos temas.

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